从二维到高维的几何世界：极限与连续的定义，我们可以看到这些概念是如何被改写的。提到高维，2000年的时候，很多人还不知道如何把平面里的概念搬到三维或更高的维度中去。比如说，二维里我们说的“去心邻域”、“内点”、“外点”和“边界点”，在三维里都是同样的概念，只是需要把三维坐标加上去。比如聚点，它其实就是在高维中一直被附近的点光顾的常客。开集呢，就是内部没有死角的空间。闭集呢，就是把边界也加进来的集合。连通集就是路径没有阻碍的集合。区域和闭区域嘛，区域就像是一个袋子，闭区域就是一个封口的袋子。有界集就是被限制在一个区域里的，而无界集呢，就是没有限制的。 那多元函数又是什么情况呢？其实多元函数就像是把多个平面函数叠起来，再拉长一样。比如说二维中f(x,y)=xy这个螺旋线，到了三维就是f(x,y,z)=xyz这个螺旋面条。维度越高，函数图像越像一根细针插进高维蛋糕。 现在来讲讲极限。二维里的极限呢，用Δx、Δy把目标点框起来；三维里呢，就是Δx、Δy、Δz把矩形框变成立方体框。只要Δx、Δy、Δz都能任意小，而函数值与目标点的差值也任意小，我们就说这个二重极限存在。关键公式还是原来那个样子，不过现在多了个Δz，就像是给函数套上了一层立体安全阀。 最后是连续性。平面里连续要求左右极限等于函数值；高维里要求任意n−1维超平面上的极限等于函数值。其实就是把目标点周围的小球表面切一刀，刀口处的函数值必须和球心处的函数值一致才能保证没有断层。连续性定义就是∀ε>0, ∃δ>0, 使得当|ΔP|<δ时, |f(P₀+ΔP)−f(P₀)|<ε。不过这次ΔP变成了n维向量，就像是给函数穿上了一件无缝紧身衣。